Matematyczne modelowanie procesów decyzyjnych w finansach

Powtórzenie

Model GARCH wykorzystywany jest przy modelowaniu i przewidywaniu zmienności w szeregach czasowych. Stosuje się go głównie w analizie finansowej.

Wzór ogólny

\[ GARCH(p, q): \sigma_t^2=\omega+\sum_{i=1}^{p}{\alpha_i\epsilon_{t-i}^2} + \sum_{j=1}^{q}{\beta_j\sigma_{t-j}^2} \]

Najczęściej omawiany przypadek

\[ GARCH(1, 1): \sigma_t^2=\omega+{\alpha\epsilon_{t-1}^2} + {\beta\sigma_{t-1}^2} \]

\(\omega\) - bazowy poziom wariancji warunkowej

\(\alpha\) – współczynnik reakcji na nowe informacje (efekt ARCH)

\(\beta\) – współczynnik pamięci zmienności (efekt GARCH)

\(\epsilon_{t-1}^2\) – kwadrat błędu z kroku \(t-1\)

\(\sigma_{t-1}^2\) – wariancja z kroku \(t-1\)

Założenia dotyczące rozkładu standaryzowanych reszt

\[ \text{reszta} = \epsilon_t = \text{predyktowany zwrot} - \text{średni zwrot} \]

\[ \text{standaryzowana reszta} = \frac{\epsilon_t}{\sigma_t} \]

gm_resid = gm_result.resid
gm_std = gm_result.conditional_volatility

gm_std_resid = gm_resid / gm_std

• Rozkład normalny (domyślna opcja): "normal"

• Rozkład t-Studenta – grube ogony rozkładu: "t"

• Skośny rozkład t-Studenta – grube ogony i skośność: "skewt"

Implementacja

normal_gm = arch_model(
  returns, p = 1, q = 1, 
  mean = 'constant', 
  vol = 'GARCH', 
  dist = 'normal'  # założenie o rozkładzie
  )

Rozkład normalny standaryzowanych reszt

Rozkład t–Studenta standaryzowanych reszt

Skośny rozkład t–Studenta standaryzowanych reszt

Założenia o średniej

• Stała średnia (domyślna opcja): "constant"

• Zerowa średnia: "zero"

• Średnia modelowana jako proces AR: "AR" (np. AR(1), AR(2), …)

Implementacja

ar_gm = arch_model(
  returns, p = 1, q = 1, 
  mean = 'AR', lags = 1,  # założenie o średniej
  vol = 'GARCH', 
  dist = 'normal' 
  )

Wpływ założeń o średniej

… na szacowaną zmienność warunkową

Korelacja między wynikami

Asymetryczne wahania zmienności

Model GARCH zakłada, że zmienność reaguje symetrycznie na zdarzenia rynkowe. W praktyce jednak negatywne informacje (np. spadki cen) wywołują silniejszy wzrost zmienności niż pozytywne.

Modele dla asymetrycznych wahań zmienności

GJR–GARCH(p, o, q)

• umożliwia większy wpływ negatywnych szoków na zmienność poprzez dodatkowy warunkowy składnik \((\gamma > 0)\)

  \[ \sigma^2 = \omega + \sum_{i=1}^p\alpha_i\epsilon_{t-i}^2+\sum_{j=1}^o\gamma_jI_{\{\epsilon_{t-j}<0\}}\epsilon_{t-j}^2+\sum_{k=1}^q\beta_k\sigma_{t-k}^2 \]

Implementacja

arch_model(
  returns, p = 1, q = 1, 
  o = 1,  # ustawiamy rząd składnika asymetrycznego
  mean = 'constant', 
  vol = 'GARCH'
  )

EGARCH(p, o, q)

\[ \ln\sigma_{t}^{2}=\omega+\sum_{i=1}^{p}\alpha_{i}\left(\left|e_{t-i}\right|-\sqrt{2/\pi}\right)+\sum_{j=1}^{o}\gamma_{j} e_{t-j}+\sum_{k=1}^{q}\beta_{k}\ln\sigma_{t-k}^{2}, \]

gdzie \(e_{t}=\epsilon_{t}/\sigma_{t}\).

• wykładniczy GARCH

• parametry występujące w modelu nie muszą być dodatnie

Implementacja

arch_model(
  returns, p = 1, q = 1, 
  o = 1, 
  mean = 'constant', 
  vol = 'EGARCH'  # określamy model
  )

Porównanie modeli

Zbliżenie na lata 1997–1998

Prognozy oparte na oknie ruchomym

… polegają na ciągłym dopasowywaniu i predykowaniu (1. step forward) przyszłości z uwzględnieniem nowych obserwacji.

Expanding window forecast

… czyli poszerzające się okno ruchome

Fixed window forecast

… czyli stałe okno ruchome

Źródła

• https://bookdown.org/compfinezbook/introcompfinr/maximum-likelihood-estimation.html

• QUASI-MAXIMUM LIKELIHOOD ESTIMATION AND INFERENCE IN DYNAMIC MODELS WITH TIME-VARYING COVARIANCES https://public.econ.duke.edu/~boller/Published_Papers/ectrev_92.pdf